Funkcje ciągłe Rachunek całkowy

Twierdzenie o średniej całkowej funkcji

Twierdzenie 1: o średniej całkowej funkcji

Jeżeli \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to istnieje element \( c \in [a,b] \) o tej własności, że

\( f(c)=\frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) dx. \)

Liczbę \( f(c) \) nazywamy wówczas średnią całkową funkcji \( f \) w przedziale \( [a,b] \).

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna średniej całkowej funkcji

DOWÓD
Na wstępie zauważmy, że dzięki ciągłości funkcji \( f \) na mocy twierdzenia Weierstrassa wartości

\( m=\min\limits_{x \in [a,b]} f(x) \quad \mathrm{oraz} \quad M=\max\limits_{x \in [a,b]} f(x) \)

są skończone. Wtedy dla dowolnego \( x \in [a,b] \) mamy \( m \leq f(x) \leq M \). Całkując te nierówności w granicach od \( a \) do \( b \), otrzymujemy

\( m(b-a)=\int\limits_a^b m dx \leq \int\limits_a^b f(x)dx \leq \int\limits_a^b M dx = M(b-a), \)

a zatem po przekształceniach

\( m \leq \overset{y_0}{\overbrace{\frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x)dx}} \leq M. \)

Ponieważ funkcja ciągła w przedziale \( [a,b] \) posiada własność Darboux, to dla każdej wartości \( y \in [m,M] \) istnieje taki argument \( x \in [a,b] \), że \( y=f(x) \). W szczególności dla zdefiniowanego powyżej elementu \( y_0 \) można znaleźć taki argument \( c \in [a,b] \),
że \( y_0=f(c) \), co oznacza, że

\( f(c) = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x)dx. \)

CND.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Twierdzenie o średniej całkowej funkcji

Twierdzenie 1: o średniej całkowej funkcji